Olimpiai szakkörök 2009 szeptembertől:

Szeptember 18, október 2. 16, november 6. 20, december 4.

2009. szeptember 18.

1. Fedhető-e a sakktábla 15 fekvő és 17 álló dominóval?

2. Egy n´n-es tábla egy sarkát levágták, a maradék fedhető uannyi fekvő és álló dominóval. Mi lehet n?

3. Egy 10´10´10-es doboz kitölthető-e 1´1´4-es téglatestekkel?

4. Legyen n poz. egész. 1´n-es téglalapokból kirakunk egy a´b méretűt. Biz. n osztja a-t, vagy b-t.

5. Egy 6´6-os táblát 1´2-es dominókkal fedtek. Biz. van olyan osztóvonal, amely nem vág ketté dominót.

6. Egy n´n-es tábla négy sarkát levágjuk. Mely n-re fedhető a maradék L alakú tetraminókkal ?

7. Egy 23´23-as táblát 1´1-es , 2´2-es és 3´3-as négyzetekel fedünk. Legalább hány 1´1-es kell?

8. Egy nagy téglalapot kisebb téglalapokra vágtunk, melyeknek legalább egyik oldala egész hosszúságú. Biz. a nagy téglalap legalább egyik oldala egész hosszú.

9. Egy 8´8-as sakktábla mezőin lépegetünk, mindig oldalszomszédosakra és minden mezőt egyszer érintve visszajutunk a kiinduló mezőre. Lehet-e, hogy mindkét irányban 32 lépést tettünk?

2009. október 2.

1. A sík pontjait (a) 2; (b) 2009 színnel színeztük. Biz lesz téglalap, melynek csúcsai uolyan színűek.

Megjegyzés: a feladat téglalap helyett négyzettel jóval nehezebb.

2. A tér pontjai pirosak, vagy kékek. Biz vagy van egységnégyzet 3 piros csúccsal, vagy 4 kékkel.

3. (a) A sík pontjai pirosak, vagy kékek. (b) A tér pontjai 3 színűek. Biz valamelyik színből létezik két pont tetszőleges távolságra.

4. A sík pontjai 3 színűek. Biz van két azonos színű pont 1 távolságra.

5. Biz ha n legalább 5, akkor n síkbeli pont kiszínezhető két színnel úgy, hogy ne legyen olyan egyenes, melynek egyik oldalán vannak a kékek, másikon a pirosak.

6. (a) Egységnégyzetek oldalait 4 színnel színezzük, majd összeragaszthatjuk az azonos színű élek mentén. Mely k és m-re készíthető k´m-es téglalap, melynek négy oldala kül. színű? (b) ugyanez kockával, hat színnel és téglatesttel.

7. (a) A sík; (b) a gömbfelület pontjai két színűek. Biz. van szabályos háromszög uolyan színű csúcsokkal.

8. Piroska és Kálmán felváltva színezik a sík pontjait. Piroska egy pontot színez pirosra, Kálmán 100-at kékre. Létrehozhat-e Piroska piros csúcsú szabályos háromszöget, ha Kálmán ezt nem szeretné?

A szakkörön Nagy János a feladat nehezebb változatát javasolta: Piroska egységnyi oldalú szabályos háromszöget szeretne.

9. Egy egyszerű n pontú teljes gráf éleit pirosra vagy kékre színezzük. Igazoljuk, hogy a gráf legalább egyszínű háromszöget tartalmaz.

2009. október 16.

1. Prím-e (a) 100..001 (2009 db 0); (b) 1280000401; (c) ?

2. Biz nincs 9 jegyű négyzetszám, melynek jegyei az 1, 2, …9 valamely sorrendben és, 5-re végződik.

3. Választunk egy többjegyű N számot, majd készítünk egy végtelen sorozatot úgy, hogy mindig egy jegyet –ami nem 9- jobbra a végére írunk. Biz végtelen sok összetett szám lesz a sorozatban.

4. Az 1,9,7,7,4,7,5,3,9,4,1, sorozatban az ötödiktől kezdve minden elem az előző négy összegének a 10-es maradéka. Előfordul e a sorozatban a következő részlet (a) 1234; (b) 3268; (c) 1977; (d) 0197?

5. A csupa 0-n kívül hány egész megoldása van az egyenletnek, ha n=2; n=3.

6. Mely poz. egész n esetén lesz négyzetszám ?

7. Adjunk meg olyan 2-vel és 9-cel osztható számot,.amelynek (a) 14; (b) 15; (c) 17 osztója van.

8. Biz. végtelen sok olyan poz. eg. n van, amelyre végződése éppen n.

9. Biz. ha n legalább 3, akkor felírható alakban, ahol x és y páratlan egészek.

2009. november 6.

1. Robinson kiúszott a partra és ott talált egy cédulát, melyen ez állt: „A kókuszpálmától lépkedj el a sziklaoszlopig, számold a lépéseket, ott fordulj balra derékszögben és lépj ugyanannyit. Ez a pont legyen X. Menj vissza a kókuszpálmához és lépkedj el a forrásig, újra számold a lépéseket, fordulj jobbra derékszögben és lépj ugyanennyit. Ez a pont legyen Y. X és Y közt félúton ástuk el a kincset.” Sajnos a kókuszpálmát kidönthette a vihar, a szikla és a forrás megvan. Segíts Robinsonnak megtalálni a kincset.

2. Egy négyszög oldalaira kifele négyzeteket rajzoltunk. Biz a szemköztiek középpontjait összekötő szakaszok egyenlő hosszúak és merőlegesek.

3. A tér négy pontja A, B, C és D. Ha a tér minden X pontjára AX²+CX²=BX²+DX², akkor ABCD …..

4. Az ABC háromszög oldalaira kifele rajzoljuk a következő téglalapokat:ABB₁A₂, BCC₁B₂, CAA₁C₂. Bizonyítsuk, hogy az A₁A₂, B₁B₂, C₁C₂ felezőmerőlegesei egy ponton mennek át.

5. Biz. az ABC szab.D köréírt körének tetsz. P pontjára a PAⁿ+PBⁿ+PCⁿ mindig uannyi, ha n=2, vagy 4.

6. (Euler tétele) Az ABCD négyszög középvonalai MN és PQ, akkor AC²+BD²=2MN²+2PQ².

7. Biz a tér tetsz. A, B, C és D pontjára (a) AB²+BC²+CA²£3(DA²+DB²+DC²); (b) AB és CD akkor és csak akkor merőlegesek, ha AC²+BD²=AD²+BC².

8. Az ABCD húrnégyszög oldalfelezőpontjaiból merőlegeseket állítunk a szemközti oldalakra. Biz egy ponton mennek át ezek a vonalak.

9. Az ABCD konvex négyszög átlóinak metszéspontja P, AB=AC=BD. Az ABP D köré és beírt körének közepe O és I. Biz, ha O és I különbözőek, akkor OI és CD merőlegesek.

10. Az ABCD húrnégyszög köréírt kör közepe O. Az AB és CD egyenesek metszéspontja M. Az ACM és BDM háromszögek köréírt köreinek közös pontjai M és N. Biz MNOÐ=90°.

2009. november 20.

1. =?

2. valósak. Biz. legalább egy nem nagyobb egynél:

3. a,b valósakra . Biz..

4. valós, ha . Biz. .

5. Oldjuk meg a valós számokon .

6. .

7. a, b, c -nél nagyobb valós számok. Biz..

8. és . Biz. minden k-ra.

9. Az ABC háromszögben. Biz. .

10. a, b, c poz. valósak. Biz.