Olimpiai szakkör

2004. szeptember.17.

1.         Igazoljuk, hogy végtelen sok olyan a természetes szám van, amely a következő tulajdonságú: bármilyen természetes számot jelöl  is n, sohasem lesz prím a következő z szám

.

2.         Határozzuk meg az összes olyan n pozitív egész számot, amely a következő tulajdonságú:  Az {n, n+1, n+2, n+3, n+4, n+5} halmaz úgy bontható fel két közös elem nélküli nemüres halmazra, hogy az elemek szorzata mindkét részben ugyanannyi.

3.         Mutassuk meg, hogy a {2ⁿ-3} (n=2, 3, 4, …) sorozat tartalmaz olyan végtelen részsorozatot, amelynek bármely két eleme relatív prím.

4.         Bizonyítsuk be, hogy ha m, n nemnegatív egészek, akkor a következő szám is egész lesz:

.

5.         Bizonyítsuk be, hogy

n semmilyen természetes egész értéke esetén sem osztható 5-tel.

6.         Legyen A a 4444⁴⁴⁴⁴ számjegyeinek összege.  Legyen B az A jegyeinek összege.  Mennyi B jegyeinek összege?

Ezek régebbi olimpiai feladatok 69/1. ,   70/4. ,   71/3. ,    72/3. ,   74/3. ,   74/4.

2004. október 1.

1. Az ABC háromszögben és . A B-ből induló belső szögfelező talppontja L, az A-ból induló magasság talppontja H. Mekkora a , ha ?

2. Határozzuk meg mindazon pozitív egész n számokat, melyekre az alábbi egyenletnek van pozitív egészekből álló (x’, y’, u’, v’) megoldása:

.

3. A k és K körök koncentrikusak, k a kisebb. A K kör AC húrja a B pontban érinti a kis kört, az AB szakasz felezőpontja D. Egy az A ponton áthaladó egyenes az E és F pontokban metszi a k kört. Tudjuk, hogy a DE és CF szakaszok felezőmerőlegeseinek M metszéspontja az AB szakaszon van. Határozzuk meg az AM : MC arányt!

4. Keressük meg az alábbi egyenlet megoldásait a természetes számok körében:

.

5. Négy egységnégyzetből készítünk egy tetraminót: három egymás mellett van, a negyedik valamelyik szélső oldalához csatlakozik és így együtt L-alakúak. Hány 100-nál kisebb területű olyan téglalap van, amely hézag és átfedés nélkül fedhető ilyen tetraminó L-alakokkal?

6. Legyen n>1 egész szám. Hány olyan f : {1,2,3,…,n}→{1,2,3,4,5} függvény van, amelyre , ha k=1, 2, …, n-1?

Házi feladat:

7. Egy számtani sorozat tagjai és differenciája is pozitív egészek. A sorozat első n tagjának a tízes számrendszerbeli alakjában sehol sem szerepel 9-es számjegy. Legfeljebb mekkora lehet n?

8. Az ABC háromszög nem tompaszögű. Oldalaira kifele rajzoltunk egy négyzetet, egy szabályos m-szöget és egy szabályos n-szöget. (m,n>5). Ennek a három szabályos sokszögnek a középpontjai egy szabályos háromszöget alkotnak. Határozzuk meg m és n értékét és azt is, mekkorák lehetnek az ABC háromszög szögei!

2004.október 22.

1-3. Megbeszéltük a Kürschák verseny feladatait.

4. Egy n×n-es sakktábla minden mezőjén egy huszár áll. Átrendezhetők úgy, hogy akik eredetileg ütötték egymást, azok szomszédosak legyenek? (Két mező szomszédos, ha van közös oldaluk, vagy csúcsuk.) Oldjuk meg n=3 és n=8 esetén is.

5. Igazoljuk Casey tételét! A k kört belülről érintik az a, b, c, d körök. Jelölje két kör (pl a és b) közös külső érintőszakaszának hosszát (ab). Ekkor (ab)(cd)+(bc)(da)=(ac)(bd).

Az állítás igaz, ha mind a négy kör kívülről érint. Különböző oldalról érintő körök esetén a közös belső érintőszakaszt kell tekinteni. Az eredeti k kör lecserélhető egy egyenesre is.

6. Legyen az n pozitív egész jegyeinek összege S(n), jegyeinek szorzata P(n). Hány olyan n létezik, melyre P(P(n))+P(S(n))+S(P(n))+S(S(n))=1984?

Házi feladat:

7. Egy 4×4×4-es kocka egymáshoz csatlakozó három lapja tapétázható-e 16 darab 3×1-es csíkkal?

8. Az ABC háromszög beírt körének sugara legyen egységnyi. Jelölje r_a az AB és AC oldalakat, valamint a háromszög köréírt körét belülről érintő kör sugarát; hasonlóan értelmezzük az r_b és r_c sugarakat is. Határozzuk meg r_a+r_b+r_c minimumát.

2004. november 12.

1. Egy szabályos háromszög oldalait n egyenlő részre osztjuk és a megfelelő osztópontokat összekötve a háromszöget n² darab kis szabályos háromszögre vágjuk. Legfeljebb milyen hosszú lehet egy olyan kis háromszögekből álló lánc, melyben a szomszédos háromszögeknek van közös oldala és minden háromszög legfeljebb egyszer szerepelhet?

2. Egy társaságban 10-en vannak. Bármely három között van 2, akik ismerik egymást. (Az ismeretség kölcsönös.) Igazoljuk, hogy van 4 ember köztük, akik mind ismerik egymást!

Gondoljuk meg, hogyan változhat a feladatban a 10-es szám! Lehet 9, vagy 8?

Beszéltünk a Ramsey számokról, megadtuk R(3,3), R(3,4), R(3,3,3) értékét.

3. Egy hatpontú gráf éleit pirossal és kékkel színezzük. Igazoljuk, hogy legalább két egyszínű háromszög lesz!

Megadtuk általánosan is egy n pontú teljes gráf színezésénél a keletkező egyszínű háromszögek számának minimumát.

4. Egy öt tagú sorozat elemei különböző valós számok. Bizonyítsuk be, hogy bekarikázhatunk közülük hármat úgy, hogy a bekarikázott számok vagy növekvő, vagy csökkenő sorozatot alkotnak.

Hány tagú sorozat esetén fogunk biztosan találni négy bekarikázható számot ilyen feltételekkel?

Megmutattuk, hogy (n-1)(k-1)+1 tagú sorozat esetén biztosan lesz vagy n tagú növekvő, vagy k tagú csökkenő részsorozat.

Házi feladat:

5. Az 1, 2, …, 42 számok közül bármely kettőt összekötünk 3 szín valamelyikével. Igazoljuk, hogy lesz négy szám x<y<z<v úgy, hogy a köztük futó élek azonos színűek! Élesíthetjük-e a feladatot 42 helyett kisebb számra?

6. Egy k tagú társaság tagjai közt három fajta lehet a kapcsolat, utálják egymást, szeretik egymást, vagy közömbösek. Mindegyik kölcsönös. Tudjuk, hogy minden fajta kapcsolat létezik. Mely k esetén lesz biztosan a társaság tagjai közt 4 ember, melyek között mind a három kapcsolat típus megtalálható?

2004. november 26.

1. Szerkesszük meg azt a kört, mely kívülről érinti az ABC háromszög köré írt kört és érinti az AB és AC oldalegyeneseket.

2. Igazoljuk, hogy 2ⁿ-nek van n jegyű olyan többese, melyben csak az 1 és 2 jegyek szerepelnek.

3. A közös pont nélküli k és l körök hatványvonalának tetszőleges P pontjából érintőket húzunk a körökhöz. Igazoljuk, hogy P választásától függetlenül az érintési pontok által meghatározott konvex négyszög átlóinak metszéspontja mindig ugyanaz a pont.

4. Igazoljuk, hogy minden pozitív egész k számhoz létezik olyan k jegyű szám, mely osztható jegyeinek összegével és jegyei közt nem szerepel a 0.

5. Adottak a k, l és m körök. Szerkesztendő olyan kör, mely mindhármat egy-egy átmérő végpontjaiban metszi.

6. Igazoljuk, hogy n egész szám közül kiválasztható néhány úgy, hogy összegük osztható n-nel.

7. Igazoljuk, hogy minden s pozitív egésznek van olyan többese, melyben a jegyek összege éppen s.

Házi feladat:

8. A k és l körök közös pontjai M és N. A két kör M-hez közelebbi közös érintője e, ez k-t és l-t rendre A-ban és B-ben érinti. Az M-en át e-vel párhuzamosan húzott egyenes kimetszi k-ból C-t, l-ből D-t. A CA és DB egyenesek metszéspontja E. Az AN és BN szakaszok metszéspontja CD-vel P és Q. Igazoljuk, hogy EP=EQ.

9. Legyen k nemnegatív egész szám és tegyük fel, hogy az a₁, a₂, …, a_n egészek legalább 2k különböző maradékot adnak (n+k)–val osztva. Bizonyítandó, hogy a számok között van néhány, amelyek összege osztható (n+k)–val.