Matematika diákolimpiai szakkör feladatai

 

2003. szeptember 19.

 

1.         A kör alakú Kincses sziget partján áll hat pálmafa, jelölje ezeket A, B, C, D, E, F.  Az ABC  háromszög magasságpontja M, a DEF háromszög magasságpontja N.  Az MN szakasz felezőpontjában ásták el a kalózok a kincset.  Sajnos legközelebb visszaérkezve már senki nem emlékezett rá, melyik fát melyik betű jelölte.  Hány helyen kell kincskeresésbe fogni a feledékeny kalózoknak?

 

2.         Egy n´n-es táblázat mezőibe beírtunk n2 db. adott, különböző valós számot.  Minden sorban bekarikáztuk a legkisebbet, minden oszlopban bekarikáztuk a legnagyobbat.  Hány olyan elrendezés van, ahol éppen 2n db. számot karikáztunk be?

 

3.         Egy tetraéder kitérő éleinek felezőpontjait összekötő szakaszok páronként merőlegesek.  Igazoljuk, hogy a tetraéder magasságai ugyanakkorák.

 

4.         „Csupaegy”-nek nevezünk minden olyan tízes számrendszerbeli pozitív egészt, melynek minden jegye 1.  Mely m-ekre létezik m db. olyan „csupaegy” szám, melyek m-es maradékai mind különbözők?

 

5.         Az u, v valós számokról tudjuk, hogy u, v és uv egy rac, együtthatós polinom három gyöke.  Igaz-e, hogy uv racionális?

 

6.         A k kör belsejében levő A és B pontok a középpontra szimmetrikusak.  Legyen P a k körön kívül, . A PA átmérőjű kör k-t az M és N pontokban metszi.  Igazoljuk, hogy

.

 

2003. október 31.

1.         Egy bajnokságon nyolc futballcsapat vesz részt. Minden egyes csapat pontosan egyszer játszik minden csapattal, nincsenek döntetlenek. Bizonyítsa be, hogy a bajnokság végén lehet találni négy csapatot (legyenek A, B, C és D) úgy, hogy A legyőzte  B-t, C-t és D-t, B csapat C-t és D-t, C pedig D-vel játszott meccsén diadalmaskodott!

 

2.         (a)        Melyik a legkisebb pozitív egész, melynek az 5-ös, 6-os és 7-es számrendszerben felírt alakjában a jegyek összege rendre 5, 6, 7?

(b)       Melyik a legkisebb pozitív egész, melynek a 4-es, 5-ös és 6-os számrendszerben felírt alakjában a jegyek összege rendre 5, 6, 7?

 

3.         Egy osztály minden egyes tanulója a következő feladatot kapja: „Vegyünk két koncentrikus, 1 és 10 egységnyi sugarú kört! A kisebbik körhöz húzzunk három érintőt, melyeknek A, B és C metszéspontjai a nagyobbik kör belsejében vannak. Mérjük meg az ABC háromszög S területét és az S1, S2, S3 körcikkszerű, A, B, C csúcsú területeket is, majd számítsuk ki S1+S2+S3S értékét.”

Igazolja, hogy minden tanuló ugyanazt az eredményt kapja!

 

 

 

 

 

4.         Legyenek  a és b pozitív egészek.  Igazoljuk, hogy végtelen sok pozitív egész szám nem áll elő a+b+6ab alakban!

 

5.         Legyen , (n nemnegatív egész).

(a)        Igazoljuk, hogy , ha n>0.

(b)       Mutassuk meg, hogy ha i és j különböző, akkor .

(c)        Hogyan bizonyíthatjuk ezek után, hogy végtelen sok prím van?

 

6.         Mely egész x esetén lesz x4+x3+x2+x+1  négyzetszám?

 

7.         Egy város utcái háromféle irányúak és a várost egyenlő területű szabályos háromszögekre osztják. A kereszteződésekben a forgalom csak egyenesen, 120o-kal jobbra vagy balra haladhat tovább az ábrán látható módon.

Kizárólag a kereszteződésekben szabad kanyarodni. Két autó áll egy kereszteződésben.  Az egyik elindul valamelyik szomszédos kereszteződés felé, és amikor eléri, a második kocsi is kezd haladni felé. Ettől a pillanattól fogva azonos sebességgel mozognak, ám nem feltétlenül kanyarodnak ugyanarra. Előfordulhat-e, hogy valamikor találkoznak?        

 

 

8.         „A sziszifuszi munka”: Egy dombra felvezető lépcső 1001 fokból áll, közülük néhányon  egy-egy szikla található. Sziszifusz felemel egy sziklát az egyik fokról, majd a fölötte levő legközelebbi üres fokra cipeli. Ezután ellenfele, Kisördög egy fokkal lejjebb gurít egy sziklát, amelynek a lépcsőfoka alatt közvetlenül üres fok következik. A lépcsőn található összesen 500 szikla a legalsó 500 lépcsőfokon helyezkedik el egyesével. Sziszifusz és Kisördög felváltva jönnek, Sziszifusz kezd. Célja, hogy a legfelső fokra tegye az egyik sziklát.  Megakadályozhatja ezt Kisördög?

 

Házi feladat:

Mely egész (x,y) számpárokra igaz, hogy x3+y3=2xy+8?

Az év során jó lenne átismételni a korábbi olimpiák feladatait az érdeklődő diákoknak.  Most az első három olimpia anyaga az első átnézendő rész.

 

 

2003. november 14.

A szakkör első 30 percében a házi feladattal kapcsolatosan 4 kérdésre lehetett válaszolni:

 

1.         Sorold fel az egész megoldásait a következő egyenletnek:  x3+y3=2xy+8.       

 

2.         Melyik a legnagyobb 100-nál kisebb n egész, melyre a következő tört egyszerűsíthető:  . 

 

3.         Oldjuk meg az egyenlőtlenséget:  .

 

4.         Egy háromszög oldalait jelölje a, b, c  területét T. 

  (a)  Melyik a max. k, amelyre ez mindig teljesül?  (b)  Melyik a max k, amelyre ez minden derékszögű háromszögre teljesül?

 

(Aki a házi feladatot elkészítette és átnézte az első három olimpia feladatait, annak nagy előnye volt, lásd 59/1, 60/2, 61/2. 

4 jó válasz:  Kocsis Albert Tihamér,  Maga Péter, Pach Péter Pál,

3 jó válasz:  Czank Tamás, Egri Attila, Kiss Tóth Christian, Mészáros Tamás, Pongrácz András, Rácz Béla András, Zanaty Péter )

 

5.         Az  ABCD paralelogramma AB oldalán úgy jelöljük ki az X és a BC oldalán az Y pontot, hogy AX=CY teljesüljön;  az AZ és CX egyenesek metszéspontját jelölje P.  Bizonyítsuk be, hogy a DP egyenes felezi a paralelogramma D-nél levő szögét.

 

6.         Az ABC háromszög AB-vel párhuzamos középvonalának egyenese az A-ból és a B-ből induló magasságvonalakat rendre D-ben és E-ben metszi.  Az AC-vel párhuzamos középvonalának egyenese az A-ból és a C-ből induló magasságvonalakat rendre F-ben és G-ben metszi.  Igazoljuk, hogy DC, BF és GE párhuzamosak.

 

7.         Az ABC háromszög BC oldalának pontjai M és N.    .  Igazoljuk, hogy .

 

8.         Igaz-e, hogy azok a 2003 jegyű számok, melyeknek 2002 jegye 1-es egy pedig 7-es, azok mind prímek?

 

9.         A hegyesszögű ABC háromszög mely P pontjára lesz a következő kifejezés minimális:  aPA+bPB+cPC?

 

Házi feladat:

10.       Az  a1, a2, …, ar és a b1, b2, …, br számok az 1, 2, …, r számok valamilyen sorrendben.  Igazoljuk, hogy az a1b1, a2b2, …, arbr számok között van két olyan, melyek különbsége osztható r-rel, ha (a) r=61;  (b) ha r=60.

11.       Az ABC háromszög köré írt kör sugara R.  Igazoljuk, hogy .

Az év során jó lenne átismételni a korábbi olimpiák feladatait az érdeklődő diákoknak.  Most a következő három olimpia anyaga  (62-64) az átnézendő rész.

 

 

 2003. november 28.

A szakkör első 30 percében a házi feladattal kapcsolatosan 3 kérdésre lehetett válaszolni:

1.         Az ABCD szabályos tetraéder éleinek hossza 1.  Két azonos sebességű hangya végigfut az ABC és DAC háromszögek élein, ezt a körüljárást tartva.   A két hangya által meghatározott szakasz felezőpontja által leírt vonal milyen hosszú?

2.         Mennyi a pontos értéke a következő kifejezésnek:  ?

3.         5 egyenes szögfelezőinek legfeljebb hány metszéspontja lehet?  (Nem kell bizonyítani, hogy a max. valóban létre is jöhet.)

 

A házi feladatként ismétlendő olimpiák anyagaiból nagy segítséget jelentett ezeknek megoldásához a 62/3, 63/5, 64/5 feladatok.

3 jó válasz:  Kocsis Albert Tihamér, Pach Péter Pál, Rácz Béla András

2 jó válasz: Hablicsek Márton, Kórus Péter, Paulin Roland, Czank Tamás, Egri Attila, Gosztonyi Balázs, Birkner Tamás, Mánfay Máté, Horváth Márton

 

4.         Adott a síkon 10 pont úgy, hogy bármely öt között található négy, melyek egy körön vannak.  Igazoljuk, hogy ekkor legalább 9 pont egy körön van.

 

5.         Egy telefontársaság kapcsolótábláján 400 kimenet van. Bármely kettőt összeköti egy vezeték, mely kék vagy piros.  A piros és kék vezetékek száma megegyezik.  A rendszer megbénul, ha két azonos színű drótot elvágunk, melyeknek nincs közös végpontja.   Mutassuk meg, hogy a konkurens cég technikai banditái ugyanannyiféleképpen béníthatják meg a rendszert két piros elvágásával, mint két kék elvágásával.

 

6.         Határozzuk meg az összes olyan x, y poz. eg. számokat, melyekre .

 

7.         Az ABC háromszög oldalaira kifele rajzoltuk az ABDE, BCFG, CAHI téglalapokat.  Igazoljuk, hogy a DG, FI, HE szakaszok felezőmerőlegesei egy ponton mennek át.

 

Házi feladat:

8.         A Bergengóc parlament tagjainak száma 1600.  A legfontosabb ügyek tárgyalását 16 000 bizottság végzi, mindegyik 80 fős.  Mutassuk meg, hogy kiválasztható két bizottság úgy, hogy 4 közös tagjuk legyen.

Az év során jó lenne átismételni a korábbi olimpiák feladatait az érdeklődő diákoknak.  Most a következő három olimpia anyaga  (65-67) az átnézendő rész.

 

2003. december 12.

A szakkör első 30 percében a házi feladattal kapcsolatosan 3 kérdésre lehetett válaszolni:

1.         Határozzuk meg az alábbi egyenletrendszer összes megoldásást:

1234x–5y–6z–7v=0

x+234y–56z–7v=0

–12x–3y+456z–7v=0

x–2y–3z+7654v=0

 

2.                                                       

A fenti egyenletekben szereplő ak (k=1, 2, 3, 4, 5) számok nem mind nullák, de minden cs értéke 0, ahol s 7-nek hatványa.  Adjuk meg c2003 lehetséges értékeit.

 

3.         Egy n (n>1) napig tartó versenyen m érmet osztottak ki.  Az első napon 1 érmet és a maradék ötödét, a második napon 2 érmet és a maradék ötödét és így tovább.  Végül az n. napon éppen n érem maradt és ezeket kiosztották.  Határozzuk meg n és m értékét.

 

A házi feladatként ismétlendő olimpiák anyagaiból nagy segítséget jelentett ezeknek megoldásához a 65/2, 67/5, 67/6 feladatok.

3 jó válasz:  Kocsis Albert Tihamér,  Rácz Béla András, Birkner Tamás, Czank Tamás, Maga Péter

2 jó válasz: Hablicsek Márton, Pach Péter Pál, Kiss Tóth Christian, Egri Attila, Király Csaba, Pongrácz András

 

4.         Legyenek a, b pozitív valósak, n pozitív egész.  Bizonyítsuk be, hogy

            .

 

5.         Az ABCD és az AB’C’D’  azonos körüljárású négyzetek.  Igazoljuk, hogy a BB’, CC’, DD’ egyenesek egy ponton mennek át.

 

6.         Álljon a H halmaz véges sok olyan természetes számból, amelyeknek nincs 3-nál nagyobb prímosztója.  Mutassuk meg, hogy a H-beli számok reciprokainak az összege 3-nál kisebb.

 

7.         Jelölje egy tetszőleges konvex n-szög oldalait a1, a2, …, an;  belső szögeit , területét pedig t.  Mely n értékekre igaz bármely konvex n-szög esetén, hogy

?

 

8.         Tekintsünk egy kör három pontja által meghatározott három diszjunkt körívet.  Mindegyik ív felezőpontja körül megrajzoljuk a végpontjain áthaladó kört.  Bizonyítsuk be, hogy a kapott három kör egy  ponton halad át.

 

Házi feladat:

9.         Legyen n rögzített pozitív egész szám.  Adjuk meg az

egyenletnek az összes olyan megoldását a valós számok körében, ahol minden i-re  teljesül.